疑念は探究の動機であり、探究の唯一の目的は信念の確定である。

数学・論理学・哲学・語学のことを書きたいと思います。どんなことでも何かコメントいただけるとうれしいです。特に、勉学のことで間違いなどあったらご指摘いただけると幸いです。 よろしくお願いします。くりぃむのラジオを聴くこととパワポケ2と日向坂46が人生の唯一の楽しみです。

関手と自然変換で合成される射は再び自然変換であること

概要

関手と自然変換があたえられたとき、適当に定義すればその射はまた自然変換となる。

 

{F, G, H, J} をそれぞれ次のような関手とする。

{{\bf B}\overset{J}{\to}{\bf C}\overset{F}{\underset{G}{\rightrightarrows}}{\bf D}\overset{H}{\to}{{\bf E}}}

{\alpha: F\to G} を自然変換とする。

 

このとき、2通りの新しい自然変換を構成することができる。

 

(1) 

{HF, HG: {\bf C}\to {\bf E}} は関手である。これらの間にできる新しい射 {H\alpha: HF\to HG} を次のように定義する。

{{\bf C}} の各対象 {C} に対して、圏 {{\bf E}} の射

{(H\alpha)_C: HFC\to HGC}{(H\alpha)_C:= H(\alpha_C)}

と定義する。このとき、{H\alpha = ( (H\alpha)_C: HFC\to HGC )_{C\in\text{ob}({\bf C})}} は自然変換である。すなわち、圏 {{\bf C}} の任意の射 {f: C_1\to C_2} に対して、

{(H\alpha)_{C_2}\circ HF(f) = HG(f)\circ (H\alpha)_{C_1}}

が成り立つ。実際に、{\alpha: F\to G} が自然変換であるから、{f: C_1\to C_2} に対して、{\alpha_{C_2}\circ F(f) = G(f)\circ \alpha_{C_1}} である。{H: {\bf D}\to {\bf E}} が関手であるので、

{(H\alpha)_{C_2}\circ HF(f) = H(\alpha_{C_2})\circ HF(f)}

{= H(\alpha_{C_2}\circ F(f) ) = H(G(f)\circ \alpha_{C_1})}

{= HG(f)\circ H(\alpha_{C_1}) = HG(f)\circ (H\alpha)_{C_1}} 

である。

 

よって、新しい射 {H\alpha: HF\to HG} は自然変換である。

 

 

(2)

{FJ, GJ: {\bf B}\to {\bf D}} は関手である。これらの間の新たな射 {\alpha_{J}: FJ\to GJ} を次のように定義する。圏 {{\bf B}} の各対象 {B} に対して、射を

{(\alpha_J)_B:= \alpha_{JB}: FJB\to GJB}

と定義する。

このとき、{\alpha: F\to G} が自然変換であるので、{\alpha_J: FJ\to GJ} もまた自然変換であることは容易にわかる(あきらか)。

 

よって、新しい射 {\alpha_{J}: FJ\to GJ} は自然変換である。

 

 

自然変換 {F\overset{\alpha}{\to}G\overset{\beta}{\to}H} の合成 {\beta\cdot\alpha: F\to H} もまた自然変換であるので、次の射も自然変換である。

{F_1, F_2, G_1, G_2: {\bf C}\to{\bf C}} を自己関手とする。{\alpha: F_1\to F_2,\, \beta: G_1\to G_2} を自然変換とする。このとき、新しい射 {\alpha\otimes \beta: F_1G_1\to F_2 G_2}

{\alpha\otimes\beta:= \alpha_{G_2}\cdot F_1\beta = F_2\beta\cdot \alpha_{G_1}} と定義する(=は {\alpha} の自然変換の性質からわかる)。 

このとき、先ほどの関手と自然変換の合成が自然変換であることと、自然変換の合成が再び自然変換であることから、新しい射 {\alpha\otimes\beta: F_1G_1\to F_2G_2} もまた自然変換である。

 

 

僕から以上

モナドについて: モノイド・モノイド圏・モノイド対象・モナド

 概要

モノイド圏やモノイド対象、そしてそれらの具体例であるモノイドとモナドについてまとめる。モノイド対象はモノイド圏において定義される。集合の圏 {\bf{Set}} はモノイド圏であり、そのモノイド対象はモノイドである。つまりモノイド対象はモノイドの一般化である。自己関手の圏 {\bf{End}(\bf{C})} もモノイド圏であり、そのモノイド対象がモナドである。

  •  はじめに: モナドについて
  • 今回の記事について
  • STEP 1:  圏論におけるモナドの定義
  • STEP 2: モノイド対象とモノイドとモナドの関係性
    • Example 1: 集合の圏
    • Example 2: 自己関手の圏
  • STEP 3: 圏論において定義されているモナドと実際にHaskellなどで定義されているモナドの関係性
  • まとめ
  • 参考文献

 

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縮小写像とその応用 (2) 微分方程式の解の一意存在定理の証明①

概要

今回と次回の記事は前回の縮小写像の原理の応用である(前回の記事はこちら)。それは微分方程式の解の一意存在定理の証明である。 今回は、存在定理を明示して、証明のアイディアを述べる。最後に証明のために必要な準備を行い、この記事を終える。完全な証明は次回の記事に記す。

 

  • 常微分方程式の解の存在定理 
  • 証明のアイディア
    • (1) 与えられた微分方程式積分方程式に変える
    • (2) 適当な定数 を定める
    • (3) 関数空間 を定義して、それらが完備であることを示す
    • (4) 写像 を定義して、それが縮小写像であることを示す
    • (5) 縮小写像の定理の発動
  • 準備

 

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いろいろな英語のまとめ: 普通の生活、はまる(動けない)、〇〇みたいな生活したい、〜みたいな気分、頻度、〇〇代前半・後半

英語メモ

予約投稿 2018/05/22  11:59

(1) 今週は普通でした(How was your weekend? と聞かれたときの答え)。 

(2) 渋滞にはまる、問題が解けない

(3) 〇〇で生活したい (願望)

(4) 〜みたいな気分

(5) 頻度

(6) 〇〇代前半・後半 (Ex: 20代前半・後半)というとき

 

(1) 今週は普通でした。

I've had a typical week.

 

My life goes on as always. 

 

(2) はまる(動けない)、できない

get stuck (on):  can't move, can't continue

We got stuck in traffic on our way home.

 

家に帰る途中で渋滞にはまった。

on our way:  途中で

in traffic:  渋滞

 

I got stuck on a math problem.

 

数学の問題にてこずっている。 

 要はある数学の問題を解けないということ。

 

(3) 〇〇みたいな生活がしたい!

ある種の願望を表現する

I could happily live in Milan!

 

ミランに住んでみたい!

 

She could happily live without a husband!

 

彼女は夫なしで生活したい!

おそらくcould happilyで「〇〇したい」という意味なのだろう。

 

(4) 〜みたいな気分 

I'm in the mood for a pizza.

 

ピザ食べたい気分

 

I'm in the mood for dancing.

 

ダンスしたい気分

 

I feel like having a pizza.

 

ピザ食べたい気分

 

 

(5) 頻度

All

Almost all

Most of it

 

(6) 20代前半

He is in his early twenties.

 

彼は20代前半です。

 

He is in his mid twenties.

 

彼は20代真ん中です。

 

He is in his late twenties.

 

彼は20代後半です。

 

be in one's early (mid, late) numbers.

 

 

僕から以上

英語で「もしも」と言うときは。普通のifと仮定法のifのニュアンスの違い

英語メモ

予約投稿 2018/05/20, 23:59

 

英語で「もしも」を言うときは、ifですが、仮定法を使うなどをすれば「もしも」の可能性が変わります。今回は if のニュアンスの違いについて書きます。

 

(1) 普通のif

 If I buy a car, I will get an economy car.

 

もし車を買うならば、エコノミックカーを買います。

これはリアルな可能性があります。real possibility 

車を買うのはかなりの可能性があります。

 

(2) 仮定法

If I bought a car, I would get an economy car.

 

もし車を買うならば、エコノミックカーを買います。

この場合は、低い可能性です。low possibilityです。

 

(3) 仮定法 were to do

If I were to buy a car, I would get an economy car.

 

もし車を買うならば、エコノミックカーを買います。

この場合は、ニュートラルです(まだ、よくわからない。今度、先生に真意を聞く)。

 

 

僕から以上

 

 

 

 

 

いろいろな「How + 形容詞」の使い方のまとめ

英語メモ

 

How old are you?のようなhow + 形容詞のまとめ。

 

(1) how high 高さ

How high is Mount Fiji?

It's 3,776 meters high. 

 

富士山の標高って?

3776メートルだよ

 

(2) how long 長さ

How long is the Nile River?

It's 6,695 kilometers long.

 

ナイル川ってどのくらいの長さ?

6,695キロメートル

 

(3) how wide 幅の広さ

How wide is the Grand Canyon?

It's about 29 kilometers wide.

 

グランド・キャニオンってどのぐらいの幅があるの?

だいたい29キロメートル

 

(4) how deep 深さ

How deep is the Pacific Ocean?

It's about 11,000 meters deep.

 

太平洋ってどのぐらいの深さがあるの?

だいたい、1万1千メートル 

 

(5) how large 大きさ

 How large is the Sahara Desert?

It's 9.1 million square kilometers.

 

サハラ砂漠ってどのくらいの大きさ?

910万平方キロメートル

 

(6) how hot どのくらいの暑さ

How hot does it get in Death Valley?

It can reach 48 degrees Celsius.

 

デス・バレーはどのくらいの暑さまでいきますか?

48°までいきます。

 

 

僕から以上