Stoneの表現定理について(1) - 疑念は探究の動機であり、探究の唯一の目的は信念の確定である。

ストーン(Stone)の表現定理について簡単にまとめる。ストーンは任意のブール代数の表現定理を示しただけではなく、彼は任意のブール代数がストーン空間と言われる空間と同型であり、逆に任意のストーン空間があるブール代数と同型であるというストーンの双対性(duality)-----それは現代数学において最も重要な概念である-----を示した。

そしてストーンの双対性は圏論的に書き換えることができる: ブール代数を対象としてブール準同型写像を射とするブール圏 $\bf{Boole}$ として、ストーン空間を対象として連続写像を射とするストーン圏 $\bf{Stone}$ とすると $\bf{Boole}^{\text{op}}\overset{F}{\underset{G}{\rightleftarrows}}\bf{Stone}$ となる関手 $F, G$ が存在して、それは同値である。同値であるからこれは随伴の例でもあるのである。

ストーンの表現定理(1st Version: 表現定理)
ストーンの表現定理(2nd Version: 位相的)
ストーンの表現定理(3rd Version: 双対的)
ストーンの表現定理(4th Version: 圏論的)

ストーンの表現定理(1st Version: 表現定理)

初めは簡単なストーンの表現定理である。これは次のものとは異なり、位相的な性質はない。

ブール代数の決定的な例として、冪集合(The power set)がある。つまり空でない集合 $X$ に対して冪集合 $\mathscr{P}(X)$ と集合演算 $\cup, \cap, \subset,\,\, ^c$ はブール代数である。その一般化として集合体(a field of sets)がある。ストーンの表現定理とは一般のブール代数がある集合体と同型であるというものである。

任意のブール代数に対して、ある集合体の部分ブール代数とブール同型である。

ストーンの表現定理(2nd Version: 位相的)

任意のブール代数 $A$ は実はストーン空間 $S(A)$ という空間(Hausdorff Compact and totally disconnected)が構成することができる。そして、ストーン空間 $S(A)$ のOpen かつClosedな集合の全体 $B(S(A))$ は、ブール代数である。それはまた同型である。つまり