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Stoneの表現定理について(1)

ストーン(Stone)の表現定理について簡単にまとめる。ストーンは任意のブール代数の表現定理を示しただけではなく、彼は任意のブール代数がストーン空間と言われる空間と同型であり、逆に任意のストーン空間があるブール代数と同型であるというストーンの双対性(duality)-----それは現代数学において最も重要な概念である-----を示した。

そしてストーンの双対性は圏論的に書き換えることができる: ブール代数を対象としてブール準同型写像を射とするブール圏\bf{Boole}として、ストーン空間を対象として連続写像を射とするストーン圏\bf{Stone}とすると\bf{Boole}^{\text{op}}\overset{F}{\underset{G}{\rightleftarrows}}\bf{Stone}となる関手F, Gが存在して、それは同値である。同値であるからこれは随伴の例でもあるのである。

 

 

 ストーンの表現定理(1st Version: 表現定理)

 初めは簡単なストーンの表現定理である。これは次のものとは異なり、位相的な性質はない。

ブール代数の決定的な例として、冪集合(The power set)がある。つまり空でない集合Xに対して冪集合\mathscr{P}(X)と集合演算\cup, \cap, \subset,\,\, ^cブール代数である。その一般化として集合体(a field of sets)がある。ストーンの表現定理とは一般のブール代数がある集合体と同型であるというものである。

 

任意のブール代数に対して、ある集合体の部分ブール代数とブール同型である。 

 

 

ストーンの表現定理(2nd Version: 位相的)

任意のブール代数Aは実はストーン空間S(A)という空間(Hausdorff Compact and totally disconnected)が構成することができる。そして、ストーン空間S(A)のOpen かつClosedな集合の全体B(S(A))は、ブール代数である。それはまた同型である。つまり

 

 任意のブール代数Aはあるストーン空間の開かつ閉集合全体B(S(A))とブール同型である。

 

 

ストーンの表現定理(3rd Version: 双対的)

さきほどの定理は逆のことも言える。つまり、任意のストーン空間Xはあるブール代数B(X)を構成することができて、それのストーン空間S(B(X))はまた同型である。つまり、

 

任意のストーン空間Xはあるブール代数のストーン空間S(B(X))と位相同型である。 

 

 

ストーンの表現定理(4th Version: 圏論的)

ストーン双対性は圏論的に書くことができる。

ブール代数を対象としてブール準同型写像を射とするブール圏\bf{Boole}として、ストーン空間を対象として連続写像を射とするストーン圏\bf{Stone}とする。

 

ブール圏の双対圏\bf{Boole}^{\text{op}}とストーン圏\bf{Stone}は同値である。

 

 

 

もう、だいぶ忘れましたね。また、勉強し直します。分かり次第再び書きます。

僕から以上