一次関数でいい問題ができたから、それを書く。 - 疑念は探究の動機であり、探究の唯一の目的は信念の確定である。

家庭教師の生徒さんのために一次関数の問題を考えていた。そうしたら、面白い問題ができた。著作権はフリーということで、適当に使ってください。

問題

一次関数 ${y = 2x + 6}$ (1) と ${y = -x + 6}$ (2) が与えられているとする。(1) と ${x}$ 軸との交点を ${A}$ 、(1)と ${y}$ 軸との交点を ${B}$ とする。

点 ${A}$ から傾き ${a}$ の直線が与えられているとする。ただし、傾き ${a}$ は 0より大きく、2未満であるとする。この直線と ${y}$ 軸との交点を ${C}$ 、(2)との交点を ${D}$ とする。原点を ${O}$ とする。

三角形 ${OAC}$ と三角形 ${BCD}$ の面積が等しくなるとき、傾き ${a}$ を求めよ。

ポイント

(1) まず、この文章から図を描くことができるか?

(2) 点 ${A}$ を通る直線を傾き ${a}$ で表すことができるか?

(3) 点 ${C}$ と点 ${D}$ を ${a}$ で表すことができるか?

(4) 三角形 ${OAC}$ と三角形 ${BCD}$ を ${a}$ を用いて表すことができるか?

この問題のいいところ

この問題は式を立てると、次のようになる。

${\text{三角形}OAC = \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 3a = \frac{1}{2}\cdot (6-3a)\cdot \frac{6-3a}{a + 1} = \text{三角形}BCD}$

${a^2}$ が入るので、一般には二次方程式を使わなくてはならなくなる。したがって、中学二年生レベルならば、一般にはこの問題を解くことができない。まだ、二次方程式を勉強していないから。だが、幸いなことに、この問題は、両辺の ${a^2}$ は消えて、一次方程式となる。よって、この問題は中学二年生でも解けるのである。