疑念は探究の動機であり、探究の唯一の目的は信念の確定である。

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同型射とキャノニカル同型について

圏論においては射が重要であり、特に同型射(isomorphisms)が重要である。それについてまとめたのでここに記す。

 

同型射

まず簡単に圏の定義をおさらいする。以前のブログにも書かれているので、よくわからなければ適宜参照していただきたい。

{\textbf{C}} とは、対象と呼ばれるものと射と呼ばれるものから成り立っている。

対象は {A, B, C, \ldots, X, \ldots} などと書かれ、射は {f, g, h, \ldots} などと書かれる。

射はドメインと呼ばれる対象とコドメインと呼ばれる対象から成り立っていて、射 {f}ドメインが対象 {A} でありコドメインが対象 {B} であるとき、射 {f}{A} から {B} への射といい、{f: A\to B}{A\overset{f}{\to}B} などと書く。

{\textbf{C}}には射の合成というものが考えられている。任意の射 {f: A\to B}{g: B\to C} に対して、新しい射 {h: A\to C} が定義されている。{h}{g\circ f} と書く。つまり、{h:= g\circ f}    ここで順番に注意すること。

このときに、圏 {\textbf{C}} は次の公理を満たす。

(1) 任意の射 {A\overset{f}{\to}B\overset{g}{\to}C\overset{h}{\to}D} に対して、

                           {h\circ (g\circ f) = (h\circ g)\circ f}

 が成り立つ。

(2) 任意の対象 {A} に対して、ある射 {i_A: A\to A} が存在して、任意の射 {f: A\to B} に対して、

                           {f\circ i_A = f = i_B\circ f}

が成り立つ。{i_A: A\to A}{A} の恒等射と言う。

{A\overset{i_A}{\to}A\overset{f}{\to}B\overset{i_B}{\to}B}

これが圏の定義であった。

   さて、まず恒等射についてその唯一性を示そう。つまり、任意の対象に対して、ただ一つの恒等射が存在することを示そう。任意の対象 {A} に対して、恒等射 {i_A: A\to A}{j_A: A\to A} が存在するとする。このとき、{i_A = j_A} を示せばよい。

{A\overset{i_A}{\to}A\overset{j_A}{\to}A\overset{i_A}{\to}A} として、{i_A} に対して、{f}{j_A} とすれば、{j_A\circ i_A = i_A}{i_A\circ j_A = j_A} を手に入れることができる。同様に、{A\overset{j_A}{\to}A\overset{i_A}{\to}A\overset{j_A}{\to}A} として、{j_A} に対して、{f}{i_A} とすれば、{i_A\circ j_A = j_A}{j_A\circ i_A = i_A} を手に入れることができる。よって、

{i_A = i_A\circ j_A = j_A\circ i_A = j_A} である。これで主張は示された。

     恒等射の唯一性より、{A} の恒等射を {1_A: A\to A}{id_A: A\to A} などと書く。つまり、恒等射 {1_A} は任意の射 {f: A\to B} に対して、

{f\circ 1_A = f = 1_B\circ f} である。

 

      続いて、圏論において最も重要な射である同型射(isomorphisms)を定義しよう。

定義 1 (同型射)

{\textbf{C}} の射 {f: A\to B}同型射であるとは、対象 {B} から対象 {A} のある射 {g: B\to A} が存在して、

{g\circ f = 1_A}

{f\circ g = 1_B}                          

が成り立つことである。 

 

{f: A\to B} が同型射であるとき、{f: A\overset{\sim}{\to}B} と書く。

対象 {A, B} に対して、{A} から {B} への同型射が存在するとき(または{B} から {A} への同型射が存在するとき)、{A}{B}同型であるという。{A}{B} と同型であるとき、{A\simeq B} と書く。

        容易にわかるように恒等射 {1_A: A\to A} は同型射である。{1_A\circ 1_A = 1_A} であるからである。 

        射 {f: A\to B} が同型射であるとき、{g: A\to B} もまた同型射である。なぜなら、{f\circ g = 1_B} かつ {g\circ f = 1_A} であるからである。

        さらに、{f: A\to B}{g: B\to C} が同型射ならば、合成射 {g\circ f: A\to C} もまた同型射である。

以上より、関係 {\simeq} は同値関係であることがわかる。つまり、{\simeq}

(1) {A\simeq A}  

(2) {A\simeq B\Rightarrow B\simeq A}    

(3) If {A\simeq B} and {B\simeq C}, then {A\simeq C}   

が成り立つ。 

 

        ここで同型射の唯一性を示そう。すなわち射 {f: A\to B} が同型射であるならば、上で定義された {g: B\to A} はただ一つしか存在しない。すなわち、{g_1, g_2: B\to A}

{g_1\circ f = 1_A}

{f\circ g_1 = 1_B}

{g_2\circ f = 1_A}

{f\circ g_2 = 1_B}

を満たすならば、{g_1 = g_2} である。実際、圏の公理から

{g_1 = 1_A\circ g_1 = (g_2\circ f)\circ g_1 = g_2\circ (f\circ g_1) = g_2\circ 1_B = g_2}

であることがわかる。

      {f} の同型射は、存在していれば、ただ一つであることがわかったので、{g: B\to A}{f^{-1}} と書き直す。すなわち、射 {f: A\to B} が同型射であるとは、ある射 {f^{-1}: B\to A} が存在して、{f^{-1}\circ f = 1_A} かつ {f\circ f^{-1} = 1_B} が成り立つことである。

      続いて特別な対象を定義して、そこに現れる同型射(キャノニカル同型射)を見てみよう。

 

 

キャノニカル同型

圏論では普遍性(universality)によって特別な対象を定義する。はじめに一番簡単な例を紹介して、同型について考えてみる。続いて少し複雑な例で同様に考えてみる。

 

終対象

定義 2 (終対象)

{\textbf{C}} のある対象 {T}終対象(terminal objects)であるとは、圏 {\textbf{C}} の任意の対象 {A} に対して、{A} から {T} への射がただ一つ存在することである。その射を {t_A: A\dashrightarrow T} と書こう。ここで、点線の矢印 {\dashrightarrow} はただ一つしか存在していないことを表している。

  ここで圏 {\textbf{C}} において、もし終対象が二つあるならば、それらは同型であることを示そう。すなわち、{T_1} および {T_2} が圏 {\textbf{C}} の終対象であるとする。このとき、{T_1\simeq T_2} であることを示そう。そのために射 {T_1\to T_2}{T_2\to T_1} を定義して、それらが同型であることを示せばよい。

  終対象 {T_1} を次のように定義する。圏 {\textbf{C}} の任意の対象 {A} に対して、ただ一つの射 {t_A: A\dashrightarrow T_1} が存在する。同様に終対象 {T_2} は圏 {\textbf{C}} の任意の対象 {B} に対して、ただ一つの射 {s_B: B\dashrightarrow T_2} が存在する。

  {T_2} は終対象であるから、{T_1} に対して、射 {s_{T_1}: T_1\to T_2} が存在する。同様に、{T_1} は終対象であるから、{T_2} に対して、射 {t_{T_2}: T_2\to T_1} が存在する。我々の主張は {s_{T_1}} は同型射であり {s_{T_1}^{-1} = t_{T_2}} ということである。すなわち、

{t_{T_2}\circ s_{T_1} = 1_{T_1}}

{s_{T_1}\circ t_{T_2} = 1_{T_2}}

であることを主張する。これを示そう。

   射 {s_{T_1}}{t_{T_2}} の合成 {T_1\overset{s_{T_1}}{\to}T_2\overset{t_{T_2}}{\to}T_1}{T_1} から {T_1} への射である。つまり、{t_{T_2}\circ s_{T_1}: T_1\to T_1} である。さらに圏の公理から、対象 {T_1} に対して、恒等射 {1_{T_1}: T_1\to T_1} が存在する。そして、終対象の定義から {T_1} からそれ自身への射 {t_{T_1}: T_1\dashrightarrow T_1} はただ一つしか存在しない。 よって、

{t_{T_1} = t_{T_2}\circ s_{T_1} = 1_{T_1}}

 

  同様に、射 {T_2\overset{t_{T_2}}{\to}T_1\overset{s_{T_1}}{\to}T_2}{T_2} からそれ自身への射であり、恒等射 {1_{T_2}: T_2\to T_2} が存在している。そして、終対象の定義から {s_{T_1}\circ t_{T_2} = 1_{T_2}} であることがわかる。これが示すべきことであった。以上より、{T_1}{T_2} と同型である。{T_1\simeq T_2}

 

  さて、このような一意に定まる同型射をキャノニカル同型射と言う。対象 {A}{B} の間にキャノニカル同型射が存在するとき、{A}{B}キャノニカル同型と言う。

 

      圏 {\textbf{C}} の対象 {T_1, \, T_2} として、もし {T_1} が終対象であり、{T_2}{T_1} と同型であるならば( {T_1\simeq T_2} )、{T_2} も終対象である。これを示そう。

  {T_1}{T_2} が同型であるので、同型射 {i: T_1\overset{\sim}{\to} T_2} が存在する。圏 {\textbf{C}} の任意の対象 {A} に対して、{T_1} は終対象であるから、ただ一つの射 {t_A: A\dashrightarrow T_1} が存在する。したがって、合成射 {i\circ t_A: A\to T_2} が存在する。つまり、{A} から {T_2} への射が存在する。

  {A} から {T_2} への射がただ一つしか存在しないことを示す。{A} から {T_2} への射 {A\overset{f_1}{\underset{f_2}{\rightrightarrows}}T_2} が存在するとする。このとき、{i^{-1}\circ f_1,\, i^{-1}\circ f_2}{A} から {T_1} への射である。ここで、終対象 {T_1} の普遍性(唯一性)により、{A} から {T_1} への射はただ一つしか存在しない。したがって、

{t_A = i^{-1}\circ f_1 = i^{-1}\circ f_2}

である。よって、{f_1 = f_2} である。

{f_1 = 1_{T_2}\circ f_1 = (i\circ i^{-1})\circ f_1 = i\circ (i^{-1}\circ f_1)}

{= i\circ (i^{-1}\circ f_2) = (i\circ i^{-1})\circ f_2 = 1_{T_2}\circ f_2}

{= f_2}

  したがって、対象 {T_2} は任意の対象に対してただ一つの射が存在することがわかった。すなわち、{T_2} は終対象である。(証明終)

 

  よって、次の定理が導かれる。

定理 3

もし {T_1}{T_2} が圏 {\textbf{C}} の終対象ならば、{T_1}{T_2} はキャノニカル同型である。{T_1\simeq T_2}

逆に、{T_1} が終対象であり {T_1}{T_2} と同型であるならば、{T_2} はまた終対象である。

 

イクワライザー

終対象は対象のみの定義であったが、実は対象と射の組みのようなもう少し複雑な概念がある。そのような概念であっても上の定理 3のようなことが成り立つ。そこでイクワライザー(equalizers)を例に議論してみよう。

定義 4 (イクワライザー)

{A\overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}}B} を圏 {\textbf{C}} の射とする。

{f}{g}イクワライザーとは {E} が対象であり、{e: E\to A} が射である組み {(E, e)} であり、次の性質を満たすものである。

(1) {f\circ e = g\circ e}

(2) {f\circ h = g\circ h} となる任意の射 {h: X\to A} に対して、{e\circ \bar{h} = h} となる 射{\bar{h}: X\to E} がただ一つ存在することである。

(図は省略)

 

このとき定理3と同様な次の定理がある。

定理 5

{A\overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}}B} を圏 {\textbf{C}} の射とする。

もし、{(E_1, e_1: E_1\to A)}{(E_2, e_2: E_2\to A)} が圏 {\textbf{C}} のイクワライザーであるならば、{E_1}{E_2} にはキャノニカル同型 {i: E_1\overset{\sim}{\to}E_2} が存在して、

{e_1 = e_2\circ i} 

が成り立つ。

逆にもし、{(E_1, e_1)}{f}{g} のイクワライザーであり、{E_1}{E_2} と同型ならば、{(E_2, E_2\overset{\sim}{\to}E_1\overset{e_1}{\to}A)} もまた {f}{g} のイクワライザーである。

(証明) 

{(E_1, e_1)}{(E_2, e_2)}{f}{g} のイクワライザーとする。つまり、{f\circ e_j = g\circ e_j} であり、{f\circ h = g\circ h} となる任意の射 {h: Y\to A} に対して、{e_j\circ \bar{h} = h} となる射 {\bar{h}: Y\dashrightarrow E_j} がただ一つ存在する。ただし、{j = 1, 2} である。

{E_2\overset{e_2}{\to} A \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}}B} に対して、{e_1: E_1\to A}{f\circ e_1 = g\circ e_1} より、ただ一つの射 {\bar{e_1}: E_1\dashrightarrow E_2} が存在して、{e_2\circ \bar{e_1} = e_1} が成り立つ。同様に、 {E_1\overset{e_1}{\to} A \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}}B} に対して、{e_2: E_2\to A}{f\circ e_2 = g\circ e_2} より、ただ一つの射 {\bar{e_2}: E_2\dashrightarrow E_1} が存在して、{e_1\circ \bar{e_2} = e_2} が成り立つ。

ここで、射の合成 {\bar{e_2}\circ \bar{e_1}: E_1\to E_1}{e_1\circ \bar{e_2}\circ \bar{e_1} = e_1} が成り立つ。実際、

{e_1\circ \bar{e_2}\circ \bar{e_1} = e_2\circ \bar{e_1} = e_1} である。

 

{E_1\overset{e_1}{\to} A \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}}B} に対して、{e_1: E_1\to A}{f\circ e_1 = g\circ e_1} より、ただ一つの射 {\bar{e_1}: E_1\dashrightarrow E_1} が存在して、{e_1\circ \bar{e_1} = e_1} が成り立つ。

ここで明らかに、{E_1} の恒等射{1_{E_1}: E_1\to E_1}{e_1 = 1_{E_1}\circ e_1} が成り立っている。したがって、

{\bar{e_2}\circ \bar{e_1} = 1_{E_1}}

が成り立つ。

同様にして、{\bar{e_1}\circ \bar{e_2} = 1_{E_2}} である。よって、{E_1}{E_2} はキャノニカル同型である。

 

  逆に {E_2\overset{\overset{i}{\sim}}{\to}E_1\overset{e_1}{\to}A\overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}}B} に対して、{e_2: E_2\to A} を 射の合成 {e_1\circ i} として定義する。つまり、{e_2:= e_1\circ i} で定義する。このとき、{(E_2, e_2)}{f}{g} のイクワライザーであることを示せばよい。まず、{f\circ e_2 = g\circ e_2} を示す。実際、

{f\circ e_2 = f\circ (e_1\circ i) = (f\circ e_1)\circ i = (g\circ e_1)\circ i}

{= g\circ (e_1\circ i) = g\circ e_2} である。

  次に {f\circ h = g\circ h} を満たす任意の射 {h: X\to A} に対して、{e_2\circ k= h} となるただ一つの射 {k: X\dashrightarrow E_2} が存在することを示す。まず、存在性を示す。{E_1} はイクワライザーであるから、{e_1\circ \bar{h} = h} となる {\bar{h}: X\dashrightarrow E_1} がただ一つ存在する。ここで射 {X\to E_2}{k:= i^{-1}\circ \bar{h}: X\to E_2} で定義する。つまり、{i\circ k = \bar{h}} である。このとき、{e_2 \circ k = h} である。実際、

{e_2\circ k = (e_1\circ i)\circ k = e_1\circ (i\circ k) = e_1\circ \bar{h} = h}

である。最後に唯一性を示す。{h = e_2\circ k_1 = e_2\circ k_2} となる射 {k_1, k_2: X\to E_2} を仮定する。このとき、射 {i\circ k_j: X\to E_1 ( j = 1, 2 )} は 

{e_1\circ (i\circ k_1) = e_2\circ k_1 = h = e_2\circ k_2 = (e_1\circ i)\circ k_2}

{= e_1\circ (i\circ k_2)}

である。つまり、{e_1\circ (i\circ k_1) = e_1\circ (i\circ k_2) = h} である。{(E_1, e_1)} の普遍性より、{\bar{h} = i\circ k_1 = i\circ k_2} であり、よって、{i} は同型射より {k_1 = k_2} である。射の唯一性は示された。

  以上より、{(E_2, e_2)}{f}{g} のイクワライザーである。

(証明終わり)

 

 

最後に  応用例

これらの定理は他の概念(積、ファイバー積、極限)でも同じである(と思う)。

これらの定理は次のように使われる。例えば、圏 {\textbf{C}} の終対象 {T} とある対象 {A} に対して、{T\simeq A} を示したいのならば、{A} が終対象の定義を満たすことを示せば、キャノニカル同型射により、{T\simeq A} であることがわかる。逆に、{T\simeq A} となっていれば、{A} は終対象の性質を満たすことがわかる。

   同様に、{(E, e)} がイクワライザーとして、ある対象 {E'} に対して、{E\simeq E'} を示したいのならば、{(E', e')} がイクワライザーであることを示せば十分である。逆に、{(E, e)} がイクワライザーであり、{E\simeq E'} であるならば、{(E', e')} はイクワライザーであることがわかる。

   もしも {E\simeq T} を示したいのならば、{E} が終対象であることを示すか、{T} がイクワライザーであることを示せばよい。逆に、{E\simeq T} が成り立っているのならば、{E} は終対象であり、{(T, T\overset{\sim}{\to}E\overset{e}{\to}A)} はイクワライザーであることがわかる。

 

 

 

僕から以上