固有値と固有ベクトルのメモ - 疑念は探究の動機であり、探究の唯一の目的は信念の確定である。

固有値と固有ベクトル
${ \begin{equation} \text{固有値} = \begin{cases} \text{すべて異なる} \begin{cases} \text{すべて実数} \\ \text{すべて複素数} \\ \text{実数と複素数} \end{cases} \\ \text{同じものがある} \end{cases} \end{equation} }$

${ \begin{equation} \textrm{Eigenvalue} = \begin{cases} \textrm{all different} \begin{cases} \textrm{all real numbers} \\ \textrm{all complex numbers} \\ \textrm{real and complex numbers} \end{cases} \\ \textrm{there is the same eigenvalue} \end{cases} \end{equation} }$

複素ベクトル空間
${A: \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n}$
${x, y\in \mathbb{C}^n}$
${ \begin{equation} x = \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \end{equation} }$

${ \begin{equation} y = \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix} \end{equation} }$

${x\cdot y = x_1\overline{y}_1 + \cdots + x_n \overline{y}_n}$

実ベクトル空間
${A: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n}$
${x, y\in \mathbb{R}^n}$
${ \begin{equation} x = \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \end{equation} }$

${ \begin{equation} y = \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix} \end{equation} }$

${x\cdot y = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n}$

${\lambda}$ が行列 ${A}$ の固有値であるための必要十分条件は ${\textrm{det}(A -\lambda I) = 0}$ である。
証明
${Av = \lambda v,\,\, x\neq 0}$ とする。つまり ${\lambda}$ は固有値であり、 ${v}$ は固有ベクトルとする。
${X = A-\lambda I}$ とおき、
${X = (x_1, \ldots, x_n),\qquad}$ ${\begin{equation} v = \begin{pmatrix} v_1\\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix} \end{equation}}$ とする。

仮定より、 ${v_1 x_1 + \cdots + v_n x_n = 0}$ である。 ${v \neq 0}$ より、 ${x_1, \ldots, x_n}$ は1次従属である。したがって、
${\textrm{det} X = \textrm{det}(A -\lambda I) = 0}$ である。

逆に ${\textrm{det}(A-\lambda I) = 0}$ とする。 ${X = (x_1, \ldots, x_n) = A-\lambda I}$ とする。
${\textrm{det} X = 0}$ より、 ${x_1, \ldots, x_n}$ は1次従属である。つまり、
${v_1 x_1 + \cdots + v_n x_n = 0}$ ならば、ある ${v_i\neq 0}$ が存在する。よって、あるベクトル ${v\neq 0}$ が存在して、
${ \begin{equation} \begin{pmatrix} x_1&\cdots&x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix} = 0 \end{equation} }$
となる。
つまり、 ${(A-\lambda I)v = 0}$ となる ${v\neq 0}$ が存在する。

${3\times 3}$ 行列のとき
${A: \mathbb{C}^3\to \mathbb{C}^3}$
固有値 ${\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3}$ とする。

(1) 3つとも異なる。
(i) 実数3個
(ii) 実数1個と複素数2個

(2) 実数3個でひとつ重複
${\lambda_1 = \lambda_2}$
${\lambda_1\neq \lambda_3}$
${\lambda_2\neq \lambda_3}$

(3) すべて実数で重複
${\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3}$

定理
${A}$ を ${n\times n}$ 行列とする。 ${\lambda_1, \ldots, \lambda_k}$ を行列 ${A}$ のすべて異なる固有値として、それぞれに対応する固有ベクトルを ${v_1, \ldots, v_k}$ とする。
つまり、 ${A v_i = \lambda_i v_i,\qquad \lambda_i\neq \lambda_j}$
このとき、 ${v_1, \ldots, v_k}$ は1次独立である。