圏論(Category Theory)についての覚書: 圏論の基礎を整理する(1): はじめに

どうもこんにちは。今回は圏論(Category Theory)のことをまとめていきたいと思います。圏論を使いさまざまなことを研究するためにそれの基本を手っ取り早く学びたいかたは多いかと思います。そこで圏論の基本的な概念や定理は何なのかという見取り図を書きたいと思います。

今後は具体的に圏論をブログに書きたいと思っていますが、どのようにして書こうか迷っています。望んでいる数式や図式がはたしてちゃんと書けるかどうかわからないからです。もしかしたら、PDFをアップするというやりかたかもしれません。

ちなみに私は英語の本で圏論を勉強しているので*1、圏論の専門用語の日本訳をほとんど知りません。ですので以下の文章は日本語と英語がごっちゃになっています。ご了承ください。カタカナで書かないのはそっちのほうがカッコ悪いからです。でも、カタカナで書いた方がまだ見やすいかと思いますが。

はじめに

圏論とは何か

 圏論とは何か。私がこんなことを言っていい立場では決してない。なぜなら勉強中の身で素人であるからである。だが、ざっくり説明するならば、次のようになるだろう(実際、まったく圏論を知らない人たちにはそのように言っている)。

圏論は、集合論と同じように、数学を記述するためのひとつの言語である。集合論が集合とその点(元・要素などと呼ばれる)を中心に理論化されているのに対して、圏論はそのような要素ではなく、写像(関数や射とも呼ばれる)を中心に理論化されているフレームワークである*2。

圏論にはもっとも大切な概念が3つ(または4つ)ある。それは圏(categories)と関手(functors)と自然変換(natural transformations)(と随伴(adjunctions, adjoints))である。圏というものを考えた上で、関手とはある性質を満たす圏から圏への写像のことである。さらに自然変換とはある性質を満たす関手から関手への写像のことである*3。

圏それ自体やそれに付随する特別なもの---集合論においては一般的な写像を定義したあと全射や単射などの特別な写像を定義したりそれらの性質を調べたりするのと同じように---は実はそれほど集合論と変わらないし、圏論の恩恵をあまり感じられない。圏論の本領が発揮されるのは、関手や自然変換などがでてくるところである。しかし、これらの概念はかなり抽象的であるので理解するのが難しいことは否めない。

圏論学習のジレンマと対策

圏論の本のタイプは主に2つあり、一つは集合論との接続や関連性を意識して書かれるものでありもう一つはいきなり圏と関手と自然変換から始まるものである。

一方で前者はいきなり関手や自然変換が出てくることはない。しかし、このような進み方であると具体的ではあるが、圏論のメリットや集合論の違いというのが感じにくいかもしれない。ただの集合論の書き換えに過ぎないのではないかという疑念が生じやすい。そうなると、細かいところに嫌気がさして関手や自然変換などの圏論にとって大切なところに行く前に飽きてしまうかもしれない。

他方で後者ではいきなり圏論の基本概念を説明する書き方であるが、関手や自然変換などがあまりに抽象的過ぎて挫折する恐れがある。

これはもしかしたら圏論の初学者に陥りやすいジレンマかもしれない。私はもちろん嵌った。

このジレンマに嵌らないためにはどうすべきなのか。一つは何を学びたいのかということを明確にしなければならないということである。もちろん基本的には専門的な内容であれば関手や自然変換や随伴をちゃんと理解しなくてはならないしこれらを学ばずにして圏論がわかったと言えないのは確かである。しかしあるレベルまでならば関手などの概念がわからなくても、理解できるのもある*4。したがって、読者はまず自分が何を勉強したいのかという目的を明確にしてから本を選ぶことをお勧めする。この記事が何を学びたいのかということの指針作りになったのならば、これ以上のない僥倖である。

圏論の著作

以下では圏論の本を紹介する。私が現在使っている本の中でダウンロード可能なもののみを紹介する(ただしConceptual Mathematicsは除く)。そしてここで紹介されている大半は日本語訳がある。

バイブル

Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician

 http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/maclanecat.pdf

Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics)

圏論の基礎

圏論のバイブル。圏論の創始者の一人、マックレーン本人が書いた本。だが、プロの数学者向けであるので初心者は無理。飾る本ですこれは。クヌース先生の本みたいなもの。 

 入門編

F.William Lawvere and Stephen H Schauel, Conceptual Mathematics: A first introduction to categories

Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories

Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories

 ネットには上がってない。もしかしたら怪しいサイトに行けば手に入るかも。

この著者の一人Lawvere(ローヴェア)は圏論的論理学に多大な貢献をした人。化け物みたいな人で論文はなかなか難しい。もう一人の著者(Schauel)は、もと奥さんが日本人とのこと(中戸川先生曰く)。それで、家内が厳しいとのことを先生に言ったらしい。

この本を語ろうと思えばいくらでも語れるのだが(この本ができた成り立ちやその中身についてなど)、最低限のことだけをここに記す。

• この謝辞にはKoji Nakatogawaとの名前が書かれている。つまり、中戸川先生の名が刻まれているのである。もちろん日本人では先生だけである。

• レベルはとても易しい。集合と写像の基礎の基礎から始まり、トポスの定義とトポス論理までである。それを関手や随伴などを使わずに説明している*5*6。まさに、圏論の入門書としては最適である。英語もやさしいので高校生や中学生からでも読める本である。もし興味があるならば、とりあえず、一度試してみてください*7。

• ただし、注意すべきことが二つある。一つは、次である。数学が全然できないような「いわゆる」文系という初学者にとっては本書の進むスピードはちょうどいいかもしれないが、数学を専攻している人や既に集合論をやった人からは、進むスピードがあまりにも遅いと感じる恐れがあるということである。もう一つはこの本は--やはりと言うべきか、Lawvereが書いているので--数学書というよりも哲学書であるということである。たまに、まったく何が書いてあるのかさっぱりわからない哲学的な議論が展開されている。が、そこはわからなくても全然気にしなくていいということを注意されたい。例えば、本書のsession 6の3. Philosophical explanation of the two aspects(pp.84-85)というとても短い節がある。もちろん、使われている言葉は簡単である。にもかかわらず、この節では何を言いたいのか、さっぱりわからないのだ*8。要はたまに現れる意味不明なところは気にしなくていいということである。

• 本の構成はかなり独特である。それは5つのPartからなり、5つのArticleというものとそれに付随するたくさんのSessionというものがある。ArticleはひとつのPartにひとつある。そのPartの学ぶべきものがコンパクトに書かれている。そのあとに、いくつかのSessionがあって、そこでは前に書かれていたArticleを詳しく説明していたり、議論されてたり(対話形式)、またはそれに関連する話題があったりする。

• 本書がこのような構成であるひとつのメリットは読者がコンパクトに内容を把握したいのであればArticleを読み、そこでわからないところがあったり、より興味のある箇所があればSessionを読むということができることであると思われる。

• 本書のメリットはExponentialsの説明である。Exponentialsの定義を導入するときに、Awodeyのような集合論からの関連性から定義を導入するのではなくて、ある一定の仕方で構成された新たな圏がTerminal objectを持つときのことを考えて導入しているところである。(Session 30 Exponentiation 1. Map objectss, or function spaces)

• 本書のデメリットはPullbackの説明がないということである。この概念は圏論や数学に決定的に重要であるにも関わらずである。もっとも、別の著作(Sets for Mathematics)ではpullbackの説明がある。

F.William Lawvere and Robert Rosebrugh, Sets for Mathematics

http://patryshev.com/books/Sets%20for%20Mathematics.pdf

Sets for Mathematics

こちらはConceptual Mathematicsよりも数学書の書き方であり、内容もより高いです。しかし、こちらも集合や写像から始まる。数学科の方はこちらから勉強した方がいいのかもしれない。

Harold Simmons, An introduction to Category Theory with over 200 exercises and solutions available

 http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/zCATS.pdf

An Introduction to Category Theory

この本は数学の分野からの例が豊富にあり、ダウンロード版にはさらに解答の答えもある本。最初に圏の定義をして例を示したあと、少しばかり特別なものをやったあと、第3章では関手や自然変換が、第4章では随伴が議論されている。 

しかし、少なくない誤植があり、さらに絶対に必要ないくつかの概念が欠落されている。それは例えば、ExponentialsやYoneda LemmaやYoneda embeddingやEquivalencesなどである*9。

Robert Goldblatt, Topoi The Categorial Analysis of Logic

iBooks available

Topoi: The Categorial Analysis of Logic (Dover Books on Mathematics)

 集合論の歴史から詳しく説明されている。トポスであるから関手などの説明はだいぶ後半になってからされる。トポス論理を学ぶにはLawvereの本と並びぐらいの良書である。

圏論の歩き方

圏論の歩き方

 圏論に関するインフォーマルな異色の数学書。色々な研究者たちが圏論に関する論文(記事)を数学セミナーに書き、それをまとめてたもの。私は一度読もうとしたけれども、挫折した。これを読んで圏論の基礎概念が身につくことはない。圏論がいかに使われているのかというのが漠然と知ることはできる。あとは、なんだかわかんないけどすごいなーと呆然と立ち尽くす本。これがわかりたいなとモチベーションを上げることもあるかもしれないし、こんなのやりたくないなと諦めるかもしれない*10。

本格編

Steve Awodey, Category Theory(1st version in 2006):

http://angg.twu.net/MINICATS/awodey__category_theory.pdf

Category Theory (Oxford Logic Guides)

圏論 原著第2版

 やはり、これが一番いいテキストだと思う。特に論理学を専攻する人たちは必読だと思う。議論の進め方も、集合論の関係も意識されていし、CCCやλ-CalculusやトポスやLawvereが発見した随伴としてのQuantifierも説明されている。モナドも議論されている。米田の補題もEquivalencesも議論されている。ただ、そのような自然変換や随伴などの説明が後半からなっているので、手っ取り早く学びたい人ならば、計画立てて読んだ方がいいと思う。最初っから読んでいると、ピークのところに行く前に挫折するかもしれない。

Tom Leinster, Basic Category Theory:

https://arxiv.org/abs/1612.09375

Basic Category Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics)

ベーシック圏論 普遍性からの速習コース

これもかなりいい本である。全体的に丁寧に書かれている。第1章から圏、関手、自然変換を説明して、第2章で随伴を議論している。手っ取り早く学びたい人にはいいかもしれない。数学の例が多い。 もしかしたら、数学的素養のない初学者にとっては難しいかもしれない。

他にも重要な概念を説明されているが、モナドは説明されていない。

以下の5つはそれほど違いはない。気に入ったやつをチョイスすればいいと思う。集合論から丁寧にやっているものもあれば(Spivak, Smith, Barr and Wells)、いきなり圏、関手、随伴から始まるものもある(Riehl, Jiri Adamek et.al, )。

Michael Barr and Charles Wells, Category Theory for Computing Science:

http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf

追記(2017/10/04)

http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22a.pdf

http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22.pdf

David I. Spivak, Category Theory for Scientists(Old Version):

 http://math.mit.edu/~dspivak/CT4S.pdf

Category Theory for the Sciences (MIT Press)

Operads added: 

Jiri Adamek et.al, Abstract and Concrete Categories The Joy of Cats:

http://angg.twu.net/MINICATS/awodey__category_theory.pdf

Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats (Dover Books on Mathematics)

Peter Smith, Category Theory A Gentle Introduction:

http://www.logicmatters.net/resources/pdfs/GentleIntro.pdf

Emily Riehl, Category theory in context:

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf 

Category Theory in Context (Aurora: Dover Modern Math Originals)

発展編 

これらの著作を読み基本が理解できたのならば、どのような本が読めるのかそして読めないのか以下に書く。

トポス理論

LambekとScottのIntroduction to higher order categorical logicを読むことは可能である。前提知識Part 0: Introduction to category theoryがカバーされているからである。もしかしたらかなりのところを重複しているのかもしれない。

J.Lambek and P.J.Scott, Introduction to higher order categorical logic:

http://www.shadowsgovernment.com/shadows-library/Jacob%20Davis/Lambek%20&%20Scott%20-%20Introduction%20to%20Higher%20Order%20Categorical%20Logic.djvu%20(6319)/Lambek%20&%20Scott%20-%20Introduction%20to%20Higher%20Order%20Categorical%20Logic.djvu%20-%20Jacob%20Davis.pdf

Introduction to Higher-Order Categorical Logic (Cambridge Studies in Advanced Mathematics)

Mac LaneとMoerdijkのSheaves in geometry and logicも読むことが可能である。本格編の著作の内容はその本の第1章と被っている。

Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory

Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory (Universitext)

Peter. JohnstoneのTopos Theoryはここのだけでは読めない。まだ知識のギャップがある。Sheaves in Geometry and Logicを読んでからの方がいいと思う。

Peter.T.Johnstone, Topos Theory

Topos Theory (Dover Books on Mathematics)

Jacob LurieのHigher Topos Theoryも当然無理。もっと予備知識が必要である。

 Jacob Lurie, Higher Topos Theory:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

Higher Topos Theory (Annals of Mathematics Studies)

λ-Calculus

多分問題ないと思う。

 Stone Spaces

JohnstoneのStone spacesの圏論的前提知識(section1.3: Preliminaries, some categorical concepts)は満たされている。読むことは可能である。

Peter.T.Johnstone, Stone Spaces

Stone Spaces (Cambridge Studies in Advanced Mathematics)

 Homology

わからん。

その他

もっとわからん。他にどんな分野と関わっているのか。 

おわりに

次は具体的な圏論の諸概念の整理です。本当はいっぺんに書こうと思っていましたが、できないと思い、次回に回します。

(つづく)

僕から以上

*1:現在進行形なので間違っている箇所だったりまだわからないところも多々あります。

*2:集合論にも関数や写像の概念がもちろんある。だが、関数を(厳密に)定義するとき、集合論ではそれを部分集合として定義する。つまり集合論では写像も所詮は一つの集合に過ぎない。対して、圏論では関数を公理化させるのである。

*3:随伴は自然変換プラス別の性質を満たすものである。

*4:例えばCartesian Closed Categoryやトポス---これらは特別な圏---の定義だけを理解したいならば、関手などを理解する必要はない(これはそうである)。もしかしたら、トポス論理学やλ-Calculusを理解したいのならば、必要ないのかもしれない。これはまだ勉強不足。間違えかもしれない。

*5:もっともトポスの概念はそれらの言葉で説明することは可能である。簡略化できる。喩えて言えば、マクスウェル方程式を4つの微分形で書いてもいいし、さらにまとめて2つの微分形式で書いてもいいのである。微分形式でかければ、すっきりするし理論が判然とする。だがもし微分形式という言語を習っていない人からするとなんのことかわからない。同じようにトポスも本書のようにも定義できるし、随伴という言語で表現することもできるが、その言語を使われると、初学者にとってはなんのことかさっぱりわからない、そんな感じかな。

*6:さらに、だからと言って本書で学ぶことが随伴を学ぶ際に無駄かと言われればそうではなく、むしろ本書には随伴の例がたくさんあるので有用である。1st edition, Note to the reader: Finally, the expert will note that we stop short of the explicit definiton of adjointness, but there are many examples of adjunctions, so that for a more advanced class the concept could be explicitly introduced.

*7:1st editionでも2nd editionでもどちらでもいいと思う。基本的に内容はそれほど変わらないと思うから。

*8:私はこの箇所について中戸川先生に聞いてみた。すると先生は開口一番に「私はこの箇所は完全にスルーしています。私には全く手をつけることはできません。全く理解することができません。」とおっしゃった。なんだか深淵なことが書かれている気はするのだが、真相はLawvere本人しかわからないという代物である。

*9:この本は中戸川先生からプレゼントされた。

*10:ちなみに私はここの執筆者の中で3人と知り合い。