圏論においては射が重要であり、特に同型射(isomorphisms)が重要である。それについてまとめたのでここに記す。
- 同型射
- キャノニカル同型
- 終対象
- イクワライザー
- 最後に 応用例
続きを読む
概要
関手と自然変換があたえられたとき、適当に定義すればその射はまた自然変換となる。
をそれぞれ次のような関手とする。
を自然変換とする。
このとき、2通りの新しい自然変換を構成することができる。
(1)
は関手である。これらの間にできる新しい射 を次のように定義する。
圏 の各対象 に対して、圏 の射
を
と定義する。このとき、 は自然変換である。すなわち、圏 の任意の射 に対して、
が成り立つ。実際に、 が自然変換であるから、 に対して、 である。 が関手であるので、
である。
よって、新しい射 は自然変換である。
(2)
は関手である。これらの間の新たな射 を次のように定義する。圏 の各対象 に対して、射を
と定義する。
このとき、 が自然変換であるので、 もまた自然変換であることは容易にわかる(あきらか)。
よって、新しい射 は自然変換である。
自然変換 の合成 もまた自然変換であるので、次の射も自然変換である。
を自己関手とする。 を自然変換とする。このとき、新しい射 を
と定義する(=は の自然変換の性質からわかる)。
このとき、先ほどの関手と自然変換の合成が自然変換であることと、自然変換の合成が再び自然変換であることから、新しい射 もまた自然変換である。
僕から以上
概要
モノイド圏やモノイド対象、そしてそれらの具体例であるモノイドとモナドについてまとめる。モノイド対象はモノイド圏において定義される。集合の圏 はモノイド圏であり、そのモノイド対象はモノイドである。つまりモノイド対象はモノイドの一般化である。自己関手の圏 もモノイド圏であり、そのモノイド対象がモナドである。
続きを読む
英語メモ
予約投稿 2018/05/22 11:59
(1) 今週は普通でした(How was your weekend? と聞かれたときの答え)。
(2) 渋滞にはまる、問題が解けない
(3) 〇〇で生活したい (願望)
(4) 〜みたいな気分
(5) 頻度
(6) 〇〇代前半・後半 (Ex: 20代前半・後半)というとき
(1) 今週は普通でした。
I've had a typical week.
My life goes on as always.
(2) はまる(動けない)、できない
get stuck (on): can't move, can't continue
We got stuck in traffic on our way home.
家に帰る途中で渋滞にはまった。
on our way: 途中で
in traffic: 渋滞
I got stuck on a math problem.
数学の問題にてこずっている。
要はある数学の問題を解けないということ。
(3) 〇〇みたいな生活がしたい!
ある種の願望を表現する
I could happily live in Milan!
ミランに住んでみたい!
She could happily live without a husband!
彼女は夫なしで生活したい!
おそらくcould happilyで「〇〇したい」という意味なのだろう。
(4) 〜みたいな気分
I'm in the mood for a pizza.
ピザ食べたい気分
I'm in the mood for dancing.
ダンスしたい気分
I feel like having a pizza.
ピザ食べたい気分
(5) 頻度
All
Almost all
Most of it
(6) 20代前半
He is in his early twenties.
彼は20代前半です。
He is in his mid twenties.
彼は20代真ん中です。
He is in his late twenties.
彼は20代後半です。
be in one's early (mid, late) numbers.
僕から以上
英語メモ
予約投稿 2018/05/20, 23:59
英語で「もしも」を言うときは、ifですが、仮定法を使うなどをすれば「もしも」の可能性が変わります。今回は if のニュアンスの違いについて書きます。
(1) 普通のif
If I buy a car, I will get an economy car.
もし車を買うならば、エコノミックカーを買います。
これはリアルな可能性があります。real possibility
車を買うのはかなりの可能性があります。
(2) 仮定法
If I bought a car, I would get an economy car.
もし車を買うならば、エコノミックカーを買います。
この場合は、低い可能性です。low possibilityです。
(3) 仮定法 were to do
If I were to buy a car, I would get an economy car.
もし車を買うならば、エコノミックカーを買います。
この場合は、ニュートラルです(まだ、よくわからない。今度、先生に真意を聞く)。
僕から以上
英語メモ
How old are you?のようなhow + 形容詞のまとめ。
(1) how high 高さ
How high is Mount Fiji?
It's 3,776 meters high.
富士山の標高って?
3776メートルだよ
(2) how long 長さ
How long is the Nile River?
It's 6,695 kilometers long.
ナイル川ってどのくらいの長さ?
6,695キロメートル
(3) how wide 幅の広さ
How wide is the Grand Canyon?
It's about 29 kilometers wide.
グランド・キャニオンってどのぐらいの幅があるの?
だいたい29キロメートル
(4) how deep 深さ
How deep is the Pacific Ocean?
It's about 11,000 meters deep.
太平洋ってどのぐらいの深さがあるの?
だいたい、1万1千メートル
(5) how large 大きさ
How large is the Sahara Desert?
It's 9.1 million square kilometers.
サハラ砂漠ってどのくらいの大きさ?
910万平方キロメートル
(6) how hot どのくらいの暑さ
How hot does it get in Death Valley?
It can reach 48 degrees Celsius.
デス・バレーはどのくらいの暑さまでいきますか?
48°までいきます。
僕から以上