関手と自然変換で合成される射は再び自然変換であること - 疑念は探究の動機であり、探究の唯一の目的は信念の確定である。

概要

関手と自然変換があたえられたとき、適当に定義すればその射はまた自然変換となる。

${F, G, H, J}$ をそれぞれ次のような関手とする。

${{\bf B}\overset{J}{\to}{\bf C}\overset{F}{\underset{G}{\rightrightarrows}}{\bf D}\overset{H}{\to}{{\bf E}}}$

${\alpha: F\to G}$ を自然変換とする。

このとき、2通りの新しい自然変換を構成することができる。

(1)

${HF, HG: {\bf C}\to {\bf E}}$ は関手である。これらの間にできる新しい射 ${H\alpha: HF\to HG}$ を次のように定義する。

圏 ${{\bf C}}$ の各対象 ${C}$ に対して、圏 ${{\bf E}}$ の射

${(H\alpha)_C: HFC\to HGC}$ を ${(H\alpha)_C:= H(\alpha_C)}$

と定義する。このとき、 ${H\alpha = ( (H\alpha)_C: HFC\to HGC )_{C\in\text{ob}({\bf C})}}$ は自然変換である。すなわち、圏 ${{\bf C}}$ の任意の射 ${f: C_1\to C_2}$ に対して、

${(H\alpha)_{C_2}\circ HF(f) = HG(f)\circ (H\alpha)_{C_1}}$

が成り立つ。実際に、 ${\alpha: F\to G}$ が自然変換であるから、 ${f: C_1\to C_2}$ に対して、 ${\alpha_{C_2}\circ F(f) = G(f)\circ \alpha_{C_1}}$ である。 ${H: {\bf D}\to {\bf E}}$ が関手であるので、

${(H\alpha)_{C_2}\circ HF(f) = H(\alpha_{C_2})\circ HF(f)}$

${= H(\alpha_{C_2}\circ F(f) ) = H(G(f)\circ \alpha_{C_1})}$

${= HG(f)\circ H(\alpha_{C_1}) = HG(f)\circ (H\alpha)_{C_1}}$

である。

よって、新しい射 ${H\alpha: HF\to HG}$ は自然変換である。

(2)

${FJ, GJ: {\bf B}\to {\bf D}}$ は関手である。これらの間の新たな射 ${\alpha_{J}: FJ\to GJ}$ を次のように定義する。圏 ${{\bf B}}$ の各対象 ${B}$ に対して、射を

${(\alpha_J)_B:= \alpha_{JB}: FJB\to GJB}$

と定義する。

このとき、 ${\alpha: F\to G}$ が自然変換であるので、 ${\alpha_J: FJ\to GJ}$ もまた自然変換であることは容易にわかる(あきらか)。

よって、新しい射 ${\alpha_{J}: FJ\to GJ}$ は自然変換である。

自然変換 ${F\overset{\alpha}{\to}G\overset{\beta}{\to}H}$ の合成 ${\beta\cdot\alpha: F\to H}$ もまた自然変換であるので、次の射も自然変換である。

${F_1, F_2, G_1, G_2: {\bf C}\to{\bf C}}$ を自己関手とする。 ${\alpha: F_1\to F_2,\, \beta: G_1\to G_2}$ を自然変換とする。このとき、新しい射 ${\alpha\otimes \beta: F_1G_1\to F_2 G_2}$ を