変分法のすべて --- 大いなる道のりへの方針 - 疑念は探究の動機であり、探究の唯一の目的は信念の確定である。

一変数関数の極値問題は次である。なめらかな関数 ${y = f(x)}$ において点 ${x_0}$ が極値を持つならば(極値であるための必要条件)、 ${f'(x_0) = 0}$ が成り立つ。要は、点 ${x_0}$ はクリティカル・ポイントである。さらに、点 ${x_0}$ が極小値であるための必要条件は、 ${f''(x_0) \geq 0}$ である。だが、容易にわかるように、関数 ${y = f(x):= x^3}$ は、これらの必要条件を満たすが、 ${x_0 = 0}$ は極値ではない。点 ${x_0}$ が極小値であるための十分条件を求めなければならない。それは、 ${f''(x_0) \succ 0}$ である。

多変数関数の極値は次である。同様になめらかな関数 ${y = f(x_1, \ldots, x_n)}$ において点 ${p\in \mathbb{R}^n}$ が極値を持つための必要条件は点 ${p}$ で各偏微分が0であることである。つまり ${\partial f/\partial x_i (p) = 0}$ である。一変数と同様に、極値の十分条件を調べるときは、二階の偏微分を見なければならない。特に、クリティカルポイント上のヘッセ行列(Hesse matrix)を調べなければならない。ここで、線形代数の知識が必要となるのである。シルベスターの判定条件など特に二次形式の知識が必要になる。点 ${p}$ が関数 ${y = f(x_1, \ldots, n_n)}$ の極小値であるための十分条件は、そのヘッセ行列の固有値がすべて 0より大きいことである。

多変数関数には Lagrange未定乗数法というものもある。これはいわゆる条件付き極値問題である。

これらの極値問題が汎関数に対して拡張することができるのである。ただし、もちろん異なっているところもある。

他にも今後のために陰関数定理なども復習した方が後のために有益であろう。

変分法の基本問題

変分法は例えば、ある固定された二点間の距離の極小値を求めるときに使われる。実際は、極小値は最短距離のことだが。

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関数 ${y = y(x)}$ が与えられて、 ${y(a) = A,\,\, y(b) = B}$ と固定されているとする。そのとき、距離が定まり、それは ${\int^{b}_{a}\sqrt{y(x)'^2 + 1}dx}$ で与えられる。つまり、汎関数 ${J(y):= \int^{b}_{a}\sqrt{y'(x)^2 + 1}dx}$ が与えられる。一般に汎関数は

${J(y) = \int^{b}_{a}F(x, y, y')dx}$ として与えられる。

このときの汎関数 ${J(y)}$ が ${C^1}$ 級曲線 ${y_0(x)}$ で極値を取るための必要条件は、何か? それは、オイラー方程式

${\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) - \frac{\partial F}{\partial x} = 0}$

を満たすことである。

これが、一変数関数における極値の必要条件の無限次元版である。

変分問題の一般化

変分法の基本問題をさまざまな形で一般化させる。

自由端問題: 端を固定せずに自由に動くときの極値の必要条件
束縛条件のある変分問題: 多変数関数におけるLagrange未定乗数法の汎関数バージョン
${C^0}$ 級の関数 ${y = y(x)}$ の変分問題
ベクトル関数における変分問題: ${y = y(x)}$ を ${\bf{y} = \bf{y}(\bf{x})}$ に変えたときの極値の必要条件
${n}$ 階微分のある関数 ${F(x, y, y',\ldots, y^{(n)})}$ を被積分関数とする汎関数の極値の必要条件
多変数の変分問題: 汎関数 ${J(y) = \int F(x, y, y')dx}$ を ${ J(s, t) = \int\int F(s, t, u(s, t), v(s, t), u_s, u_t, v_s, v_t)ds dt}$ にした極値の必要条件