圏論においては図式が多様に使われる。例えば次のようなものである。
その図式をLaTeXで書くときに重宝されるのが、xymatrixというものである。それの使い方、テンプレートを紹介する。勝手にコピペして構わんよ。
追記 2018/12/01
可換図式のまとめを見やすく書いた。こちら を参照。
xymatrixの使い方
\documentclassと\begin{document}の間に最低でも\usepackage[all]{xy} を入れれば、xymatrixを使うことができる。例えば次のようなものである。
\documentclass{article}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\begin{document}
\[
\xymatrix{
A\ar[r]^f&B
}
\]\end{document}
これは次のように表示される。
ここでは\usepackage{amsmath, amssymb}というものもあるが、これは などを使うために必要である。しかし、この2つさえあれば、少なくともここで書かれる図式は全て書くことができる。
一つの射
射(Arrows)
(1) 上付きの文字の射
¥begin{equation}
\xymatrix{
A\ar[r]^-{f}&B
}
¥end{equation}
これは次のように表示される。
(2) 文字が下付きの射
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
A\ar[r]_-{f}&B
}
¥end{equation}
OUTPUT
(3) 文字を矢印に通す
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
A\ar[r]|f&B
}
¥end{equation}
OUTPUT
(4) 右から左への射(Left Arrows)
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
A&B\ar[l]^-{f}_-{g}
}
¥end{equation}
OUTPUT
垂直の射(Vertical Arrows)
(5) 上から下への射
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
A\ar[d]^-{f}_-{g}\\
B
}
¥end{equation}
OUTPUT
(6) 下から上への射
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
A\\
B\ar[u]^-{f}_-{g}
}
¥end{equation}
OUTPUT
もちろん斜めの射も書くことができる(だが省略)。
(7) ただ一つしか存在しない射(Unique Arrows)
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
A\ar@{.>}[r]^-{^{\exists !} f}&B
}
¥end{equation}
OUTPUT
(8) 包含写像 (Inclusion Maps)
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
A\ar@{^{(}->}[r]^-{f}&B
}
¥end{equation}
OUTPUT
モノモルフィズム(Monomorphisms)
(9)
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
A\ar@{>->}[r]^-{f}&B
}
¥end{equation}
OUTPUT
この表示を見るとドメイン(ここでは対象 )と射が少しかぶっていて見づらい。したがって、次のように射を少しずらして表示してみる。
(10)
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix@M=8pt{
A\ar@{>->}[r]^-{f}&B
}
¥end{equation}
OUTPUT
確かにこのようにすればドメインと射が被らずに済む。しかし今度はコドメイン(ここでは対象 )と射が離れすぎ感がある。対象を移動させたいが、どのようにやるのかは私は結局はわからない。改善の余地はあるだろう。
(11) エピモルフィズム(Epimorphisms)
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
A\ar@{->>}[r]^-{f}&B
}
¥end{equation}
OUTPUT
(12) 恒等射(Identity Arrows)
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
A\ar@{=}[r]^-{1_A}&A
}
¥end{equation}
OUTPUT
(13) 同型射(Isomorphisms)
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
A\ar[r]^-{\simeq}_-{f}&B
}
¥end{equation}
OUTPUT
(14) 要素間の対応(Assignments of Elements)
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
x\ar@{|->}[r]&y
}
¥end{equation}
OUTPUT
自然変換(Natural Transformations)
(15)
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
F\ar@{=>}[r]^-{\tau}&G
}
¥end{equation}
OUTPUT
自然変換はしばしば で書かれる。他にも圏を明示したいために次のように書かれる。
(16)
INPUT
¥begin{equation}
\xymatrix{
\textbf{C}\ar@/^18pt/[rr]^-{F}\ar@/_18pt/[rr]_-{G}\ar@{}[rr]|{\Downarrow^\tau}&&\textbf{D}
}
¥end{equation}
OUTPUT
本当はもっと綺麗に表示されて欲しいが、あんまりうまくいかない。少なくともこの書き方は失敗である。どう書けばいいのかはまだよくわからない。
次回は2つ以上の射を取り上げて、可換図式のテンプレートを示したいと思う。 次号を待て!
こちらは最終回の記事。積などの特別な概念の可換図式が書かれている。
*1:ここで円マーク¥が使われているが、これは「\」と同じである。どうしてこのようにしているかというと、\begin{equation}と書くと、変に表示されるからである。
