疑念は探究の動機であり、探究の唯一の目的は信念の確定である。

数学・論理学・哲学・語学のことを書きたいと思います。どんなことでも何かコメントいただけるとうれしいです。特に、勉学のことで間違いなどあったらご指摘いただけると幸いです。 よろしくお願いします。くりぃむのラジオを聴くこととパワポケ2と日向坂46が人生の唯一の楽しみです。

数学におけるアイディアとコンセプト

雑感 数学

多くの人は数学は難しいと思われている。だから、いつの世もどこでも数学嫌いが多い。

確かに難しい。だが、数学を学んで私が思うことは「数学のアイディア自体は難しくなくシンプルである」ということである。例えば、微分のアイディアは接線であったり速度であり、積分のアイディアは面積である。ホモトピーのアイディアも単純である。数学のアイディアを学ぶことはそれほど難しくないと思うし、挑戦してほしいと思う。

だが、数学のいいところは単純なアイディアを概念化(conceptualization)することである。こちらは難しいかもしれない。だがより一層面白い。

さらに証明などのテクニカルな問題も生じてくる。

 

一般の人は数学のアイディアの方は学んでほしいと思う。ただ、コンセプトの方はわからなくてもいいし、テクニカルなこともできなくてもいいと思う。もちろん、そちらの方がつまらないという意味では決してない。そちらの方が面白いから数学をやっているのである。が、そちらのほうは万人受けしない。

 

これは次のような喩えができるかもしれない。

海外の文学作品例えばシェイクスピアやゲーテなどの本は当然ながらその現地の言葉で書かれている。一般の人には言葉の壁があるのでとても原著に手をつけることはできない。だが、翻訳された本ならば一般の人にも理解できる。そして名作に感動することができるのである。

もちろん、翻訳であるため限界がある。もっと知りたい人や研究者ならば原著で読まなくてはならない。そしてその作品の奥深さを知ることができるのである。さらに原著が読めるならば、翻訳本を見て「あぁ、うまい表現しているな」とか「これはあかんな」などと現地の言葉を知っているが故の特権がその人には与えられているのである。

同じように、数学のアイディアだけならば万人にも理解できるだろう。翻訳された名作でも我々は感動するのであるから、たとえアイディアだけであっても感動するだろう。だが、より一層、文学作品を理解するためには現地の言葉を知らなければならないのと同じように、数学のコンセプトを理解するためには数学を真面目に勉強しなければならないのである。それは辛いことかもしれないが、そこを乗り越えたものにはある種の特権が与えられている。原著を読める人と同じように。

 

 

僕から以上

随伴とモナド (1): Introduction これからやることとモナドの歴史

Adjoints(随伴) Monads(モナド)

どうも僕です。

最近、しばらくご無沙汰でありました。書こうと思っていたけれどもなかなか書けませんでした。ですが、この間にもブログのアクセス数は200/1dayのときもあり、とても驚きました。どの記事が見られているか調べたら、旅行に使えるロシア語が一番見られていました。おそらくW杯の影響でしょうか。ペテルブルクの気候や虫や治安についてもアクセス数を伸ばしていました。気候以外は全然使えない記事ですが.....

しかし、ロシア語だけでなく不動点定理の記事も伸びていました。それもとても驚きました。不動点定理の一連の記事はまだ続きがあるので、早く書かなければならないとは思っていますが.....気持ちは乗りません。

 

さて、今回から圏論における随伴とモナドに関する一連の記事を書きたいと思います。

随伴およびモナドの発展の歴史に沿って解説したいと思います。

モナドはアイディアとしては随伴とは直接関係ありませんが、モナド----Triplesと最初呼ばれた----が定式化され理論化されたのは随伴が直接の起因でありました。したがって、随伴とモナドをセットで議論するのは正当であり、ゆっくり解説していきたいと思います。

  • 一連の記事で行うこと 
  • 随伴とモナドの歴史
    • (1) 1958 Godemet
    • (2) 1958 Kan
    • (3) 1961 Huber
    • (4) 1965 Eilenberg and Moore
    • (5) 1965 Kleisli
    • (6) 1967: Beck
    • (7) 1969 Seminar on Triples
    • (8) 1972 Mac Lane
  • 参考文献

 

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可換図式をLaTeXで書くときに使うxymatrixのテンプレート (3): 終対象や積などの特別な対象を書く

LaTeX 圏論

今回の記事はLaTeXのxymatrixで可換図式を書くことについての一連のシリーズの最終回である。 

前回の記事はこちら 

第一回目の記事はこちら

今回は圏論に出てくる特別な概念---終対象と始対象、積と双対積、イクワライザーとコイクワライザー、そしてプルバックとプッシュアウト---の図式を書く。勝手に参照してくれて構わんよ~~~。

 

追記 2018/12/01

可換図式のまとめを見やすく書いた。こちら を参照。

  •  終対象と始対象
  • 積と双対積
  • イクワライザーとコイクワライザー
  • プルバックとプッシュアウト
  • 終わりに
  • 参考文献

 

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可換図式をLaTeXで書くときに使うxymatrixのテンプレート (2): 2つ以上の射と可換図式の基本

LaTeX 圏論

今回は図式において最も使われる三角形の可換図式と四角形の可換図式のテンプレートをまとめる。さらに最後にモノイダル圏において使われる五角形の可換図式も書く。これらのコードは勝手に使って構わんよーーー。役に立ってくれたら嬉しいです。

前回の記事はこちら

 

追記 2018/12/01

可換図式のまとめを見やすく書いた。こちら を参照。

  • 2つ以上の射
  • 可換図式 
    • 可換な三角形図式
    • 可換な四角形図式
    • 可換な五角形図式
  • 終わりに

 

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可換図式をLaTeXで書くときに使うxymatrixのテンプレート (1): 基本操作と一つの射

LaTeX 圏論

圏論においては図式が多様に使われる。例えば次のようなものである。

 

f:id:yoheiwatanabe0606:20180615230107p:plain

その図式をLaTeXで書くときに重宝されるのが、xymatrixというものである。それの使い方、テンプレートを紹介する。勝手にコピペして構わんよ。

 

追記 2018/12/01

可換図式のまとめを見やすく書いた。こちら を参照。

  •  xymatrixの使い方
  • 一つの射  
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同型射とキャノニカル同型について

圏論

圏論においては射が重要であり、特に同型射(isomorphisms)が重要である。それについてまとめたのでここに記す。

  • 同型射
  • キャノニカル同型
    • 終対象
    • イクワライザー
  • 最後に  応用例

 

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関手と自然変換で合成される射は再び自然変換であること

Functors(関手) Natural Transformations(自然変換)

概要

関手と自然変換があたえられたとき、適当に定義すればその射はまた自然変換となる。

 

{F, G, H, J} をそれぞれ次のような関手とする。

{{\bf B}\overset{J}{\to}{\bf C}\overset{F}{\underset{G}{\rightrightarrows}}{\bf D}\overset{H}{\to}{{\bf E}}}

{\alpha: F\to G} を自然変換とする。

 

このとき、2通りの新しい自然変換を構成することができる。

 

(1) 

{HF, HG: {\bf C}\to {\bf E}} は関手である。これらの間にできる新しい射 {H\alpha: HF\to HG} を次のように定義する。

圏 {{\bf C}} の各対象 {C} に対して、圏 {{\bf E}} の射

{(H\alpha)_C: HFC\to HGC} を {(H\alpha)_C:= H(\alpha_C)}

と定義する。このとき、{H\alpha = ( (H\alpha)_C: HFC\to HGC )_{C\in\text{ob}({\bf C})}} は自然変換である。すなわち、圏 {{\bf C}} の任意の射 {f: C_1\to C_2} に対して、

{(H\alpha)_{C_2}\circ HF(f) = HG(f)\circ (H\alpha)_{C_1}}

が成り立つ。実際に、{\alpha: F\to G} が自然変換であるから、{f: C_1\to C_2} に対して、{\alpha_{C_2}\circ F(f) = G(f)\circ \alpha_{C_1}} である。{H: {\bf D}\to {\bf E}} が関手であるので、

{(H\alpha)_{C_2}\circ HF(f) = H(\alpha_{C_2})\circ HF(f)}

{= H(\alpha_{C_2}\circ F(f) ) = H(G(f)\circ \alpha_{C_1})}

{= HG(f)\circ H(\alpha_{C_1}) = HG(f)\circ (H\alpha)_{C_1}} 

である。

 

よって、新しい射 {H\alpha: HF\to HG} は自然変換である。

 

 

(2)

{FJ, GJ: {\bf B}\to {\bf D}} は関手である。これらの間の新たな射 {\alpha_{J}: FJ\to GJ} を次のように定義する。圏 {{\bf B}} の各対象 {B} に対して、射を

{(\alpha_J)_B:= \alpha_{JB}: FJB\to GJB}

と定義する。

このとき、{\alpha: F\to G} が自然変換であるので、{\alpha_J: FJ\to GJ} もまた自然変換であることは容易にわかる(あきらか)。

 

よって、新しい射 {\alpha_{J}: FJ\to GJ} は自然変換である。

 

 

自然変換 {F\overset{\alpha}{\to}G\overset{\beta}{\to}H} の合成 {\beta\cdot\alpha: F\to H} もまた自然変換であるので、次の射も自然変換である。

{F_1, F_2, G_1, G_2: {\bf C}\to{\bf C}} を自己関手とする。{\alpha: F_1\to F_2,\, \beta: G_1\to G_2} を自然変換とする。このとき、新しい射 {\alpha\otimes \beta: F_1G_1\to F_2 G_2} を

{\alpha\otimes\beta:= \alpha_{G_2}\cdot F_1\beta = F_2\beta\cdot \alpha_{G_1}} と定義する(=は {\alpha} の自然変換の性質からわかる)。 

このとき、先ほどの関手と自然変換の合成が自然変換であることと、自然変換の合成が再び自然変換であることから、新しい射 {\alpha\otimes\beta: F_1G_1\to F_2G_2} もまた自然変換である。

 

 

僕から以上