2019-01-09

多様体上の微分形式についての覚書

数学多様体

多様体上の微分形式について簡単にまとめる。これは単なるスケッチであり、細かい議論はしない。というか私もまだわかっていないし、だいぶ多様体について忘れてしまったので、詳細は書くことができない。

多様体論の前提
微分形式の前提
ベクトル場と微分形式(1-form)
本題までの準備: k-形式
メイン 1: k-形式のいくつかの定義
- 切断による定義
- 局所座標系による定義
- ベクトル場から実数値関数への写像としての定義
メイン2: 微分形式の間の種々の演算
- 外積(exterior products)
- 内部積(interior products)
- 引き戻し(pullback)
- 外微分(exterior derivative)
- リー微分(Lie derivative)

2019-01-08

ゆっくり学ぶ実数論プレ

この画像を貼るためにとりあえず立ち上げた記事
f:id:yoheiwatanabe0606:20190108032553j:plain
f:id:yoheiwatanabe0606:20190214150529j:plain
目標:
実数論についてじっくり学ぶこと。
および
実数の公理にはいくつかの同値なものが出てくる。これを一般論(位相空間)ではどうなっているのか理解すること。
要は、実数論を通じて位相空間論に慣れることである。その連続性をしっかりと理解すること。
連続のみしか考えない世界もそれはそれで楽しいことを感じること

参考文献はおそらく次のいくつかだと思う。

数の概念

作者: 高木貞治
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新式算術講義 (ちくま学芸文庫)

作者: 高木貞治
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数の体系上 (岩波新書青版 815)

作者: 彌永昌吉
出版社/メーカー: 岩波書店
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数の体系下 (岩波新書黄版 43)

作者: 彌永昌吉
出版社/メーカー: 岩波書店
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実数論講義[新版] (微分積分学)

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数下 (シュプリンガー数学リーディングス)

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数上 (シュプリンガー数学リーディングス)

作者: H.D.エビングハウス,成木勇夫
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僕から以上

2019-01-07

実対称行列の対角化について

数学

${n}$ 次行列 ${A}$ の対角化についてまず最も簡単なケースは固有値がすべて異なっているときである。そのときは行列 ${P}$ が存在して
${ P^{-1} A P = \begin{bmatrix} \alpha_1&&\\ &\ddots&\\ &&\alpha_n \end{bmatrix} }$
が成り立つ。 ${\alpha_i}$ は固有値である。
しかし、一般に固有値が重複しているとき問題は複雑となる。結局それはJordan標準形の議論になる。
しかし、応用上非常に使われる特別な行列である実対称行列(Hermite行列)の場合、たとえ固有値が重複していても上の定理のように単純に対角化できる。それは次のような定理である。

定理
${n}$ 次実対称行列 ${A}$ に対して、 ${n}$ 次直交行列 ${P}$ が存在して、
${ P^{-1} A P = P^T A P = \begin{bmatrix} \alpha_1&&\\ &\ddots&\\ &&\alpha_n \end{bmatrix} }$
が成り立つ。
ここで、 ${P^T}$ は転置行列であり、 ${\alpha_i (i = 1, \ldots, n)}$ は固有値である。

この定理を帰納法で証明する。たしか有名どころの線形代数の本はこの定理をかなり遠回りに(抽象理論を定式化してから)証明している。より直接的に初等的に証明する。
今日もノートの処理である。

2019-01-06

他の人には全く無駄な話であるが、自分にとって決定的な話

雑感

今日は何かが変わった。
それは他の人には全く関係ないが、自分にとって決定的な何かが変わった。ある種の信念が確立されたと言うべきだろう。
原因は1つではないが、これまでつもりに積もった感情と今日起こったいくつかの出来事によって、変わった。見た目は変わっていないが気持ちが変わった。
昨日の夜に母親から電話がきた。祖母の訃報の知らせであった。それによって幾分気持ちが動揺していたのと、これまでの祖母の思い出を振り返り、そして「自分にとって何が大切なのか」「これからいかに生きるべきか」ということを漠然とながら考えていた。そんななかで、今日の出来事によって(それは個人的なことから社会的なことまで)、気持ちが変わってしまった。
これ以上は書かない。だが、自分の人生を、自分が無駄だと思っていることに時間を消費しないようにしていこうと決めた。